A modo de complemento
Este artículo de Bryn Hughes detalla algunos conceptos que pueden ayudar a comprender algunas de las referencias que no han sido desarrolladas en las entradas anteriores, dedicadas al libro de Richard Cohn, Audacious Euphony.
Así también pueden ser de gran utilidad los ejemplos escritos en pentagrama y algunos gráficos.
Claramente la teoría Neo-Reimanniana es mucho más extensa y merece un estudio profundo, pero a modo de introducción y como complemento a los artículos serán de alguna ayuda.
Progresiones triádicas neoriemannianas
Bryn Hughes
Conclusiones clave
La teoría neoriemanniana, llamada así en honor al teórico musical Hugo Riemann, proporciona un medio para racionalizar las progresiones triádicas que implican compartir tonos comunes, más que permanecer dentro de una tonalidad.
Cada transformación neoriemanniana alterna entre una tríada mayor y una menor.
Las transformaciones neoriemannianas más básicas desplazan una nota y mantienen dos tonos comunes.
Relativo relaciona una tríada mayor y la tríada menor una tercera menor más baja, como por ejemplo C y Ami .
El paralelo relaciona una tríada mayor y una tríada menor que comparten la misma raíz, como C y Cmi.
El intercambio de tonos principales relaciona una tríada mayor y la tríada menor con una tercera mayor más alta, como C y Emi.
Otras transformaciones neoriemannianas importantes mantienen un tono común y desplazan dos notas.
La expole de H relaciona una tríada mayor y la tríada menor una tercera mayor inferior, como Do y La♭mi. Esta transformación es única porque no conserva ninguna nota común; en cambio, cada nota se desplaza medio tono para llegar al nuevo acorde.
Las transformaciones neoriemannianas se abrevian con una letra cada una: R, P, L, S, N y H.
Los teóricos han ideado varias redes de transformaciones que ayudan a visualizar estas relaciones, como Tonnetz , las regiones de Weitzmann y la Danza del Cubo.
A finales del siglo XIX , los compositores solían usar progresiones triádicas que confundían el análisis convencional de números romanos. Considere el siguiente extracto del concierto para violín y violonchelo de Brahms ( Ejemplo 1 ):
Ejemplo 1. Brahms, Concierto para violín y violonchelo, I, pp. 268–79 (10:22) .
En el Ejemplo 2 se puede encontrar una reducción de la progresión de acordes del extracto anterior. El pasaje conecta dos tríadas de La♭ mayor; sin embargo, los acordes entre esas tríadas no pertenecen a La♭ mayor de ninguna manera útil, ni siguen ninguna de las convenciones de la armonía funcional.
Ejemplo 2. Brahms, Concierto para violín y violonchelo, I, cc. 270–76, reducción.
Se podría descartar el pasaje por completo como una "armonía no funcional", pero al escucharlo, se observa cierta lógica. Como escribe Richard Cohn: "Si esta música [música triádica pero funcionalmente indeterminada] no es plenamente coherente según los principios de la tonalidad diatónica, ¿con qué otros principios podría serlo?" (1998, 169).
Transformaciones neoriemannianas
La teoría neoriemanniana describe una forma de conectar tríadas mayores y menores sin contexto tonal. El ejemplo 3 muestra las tres operaciones neoriemannianas básicas. Observe que cada operación conserva dos tonos comunes en una tríada y cambia su modo.
La transformación relativa R (R) preserva la tercera mayor en la tríada y mueve la nota restante un tono entero.
La transformación paralela (P) conserva la quinta perfecta en la tríada y mueve la nota restante un semitono.
La transformación de intercambio de tono principal (L) preserva la tercera menor en la tríada y mueve la nota restante en un semitono.
Ejemplo 3. Las tres operaciones neoriemannianas básicas: relativa, paralela e intercambio de tonos principales.
Es importante tener en cuenta que cada transformación alterna entre dos acordes. Como analogía, piense en la tecla Bloq Mayús del teclado, que alterna entre dos mayúsculas y minúsculas. Si escribe en minúsculas y pulsa Bloq Mayús, el teclado empezará a escribir en mayúsculas. Pero si vuelve a pulsar Bloq Mayús, el teclado volverá a minúsculas; no cambiará a una tercera mayúscula.
De forma similar, si se realiza la transformación L en una tríada de Do mayor, se obtiene una tríada de Mi menor. Si se realiza la transformación L en una tríada de Mi menor, se regresa a una tríada de Do mayor. Dicho de otro modo, las repeticiones sucesivas de la misma transformación se alternan entre dos acordes, como se muestra en el Ejemplo 4.
Ejemplo 4. Transformaciones L sucesivas en tríadas de Do mayor y Mi menor.
Si bien la mayoría de los compositores del siglo XIX no escribieron progresiones utilizando la misma transformación una y otra vez, encontrará esta técnica utilizada en obras del siglo XX como "O Superman" de Laurie Anderson , que utiliza transformaciones L sucesivas en todas partes.
El Tonnetz
El ejemplo 5 muestra un Tonnetz . Un Tonnetz es una representación visual de notas dispuestas de forma que las quintas justas se leen de izquierda a derecha, las terceras mayores se leen en diagonal, de arriba a la izquierda a abajo a la derecha, y las terceras menores se leen en diagonal, de abajo a la izquierda a arriba a la derecha. Tres notas cualesquiera en un triángulo forman una tríada mayor o menor. Aunque aquí se representa como un plano confinado, teóricamente, sin equivalencia enarmónica, el Tonnetz continúa infinitamente; con equivalencia enarmónica, el Tonnetz forma un toro .
Las transformaciones neoriemannianas se pueden visualizar girando un triángulo a lo largo de uno de sus tres bordes.
La transformación (P)aralélica invierte el triángulo a lo largo del borde que pertenece a la línea de quintas perfectas (de izquierda a derecha).
La transformación (R)relativa invierte el triángulo a lo largo del borde que pertenece a la línea de terceras mayores (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha).
La transformación del tono (principal) invierte el triángulo a lo largo del borde que pertenece a la línea de terceras menores (de arriba a la derecha a abajo a la izquierda).
Ejemplo 5. El Tonnetz.
El ejemplo 6 muestra cada una de las transformaciones en el Tonnetz. Si se realiza una transformación P en la tríada de Do mayor, resaltada con bordes rojos, esta se invertirá a lo largo del lado de Do-Sol para convertirse en Do menor. De forma similar, L invertirá la tríada a lo largo del lado de Sol-Mi para convertirse en Mi menor, y R invertirá la tríada a lo largo del lado de Do-Mi para convertirse en La menor. Tenga en cuenta que si se comienza con una tríada menor, como la de Sol menor, resaltada con bordes verdes, todas las inversiones serán en direcciones opuestas.
Volviendo al ejemplo del concierto para violín y violonchelo de Brahms, ahora tenemos una forma de comprender cómo funciona esta progresión de acordes. El ejemplo 7 muestra que las dos tríadas de La♭ mayor están conectadas por una serie de transformaciones P y L entre acordes.
Ejemplo 6. Tonnetz que muestra las tres operaciones neoriemannianas (P, L y R) realizadas en una tríada de Do mayor y una tríada de Sol menor.
El extracto del concierto de Brahms navega por una columna de triángulos que se mueven hacia arriba desde la parte inferior derecha del Tonnetz, como se muestra en el Ejemplo 8. Tenga en cuenta que debe reinterpretar enarmónicamente la tríada de sol♯ mayor como una tríada de la♭ mayor en el punto de partida.
El Tonnetz es útil para visualizar la proximidad de las tríadas mayores y menores; observe que todas las tríadas en una tonalidad dada están próximas entre sí, mientras que las tonalidades con diferentes tonalidades también están muy separadas en el Tonnetz . Por otro lado, el Tonnetz es útil para imaginar progresiones de acordes interesantes que podrían pasar desapercibidas si se limita a la sintaxis habitual.
Ejemplo 8. Concierto para violín y violonchelo de Brahms, cc. 270–76 en el Tonnetz .
Cadenas o ciclos de transformaciones
Si bien se puede usar la teoría neoriemanniana para crear o analizar prácticamente cualquier progresión de acordes, los compositores a menudo se han centrado en cadenas de operaciones que crean ciclos cerrados de tríadas. Los ciclos comienzan y terminan en el mismo acorde y siguen un patrón específico de transformaciones (similar a una secuencia). La progresión del ejemplo de Brahms mencionado anteriormente es un ciclo PL porque alterna transformaciones P y L , y comienza y termina en el mismo acorde.
Hay tres ciclos posibles que utilizan dos transformaciones: el ciclo PL, el ciclo RP y el ciclo RL. Como se puede ver en el Ejemplo 9 , los ciclos PL y RP cierran el ciclo tras relativamente pocas transformaciones: seis para el ciclo PL y ocho para el ciclo RP.
Ejemplo 9. Ciclos PL y RP.
Por el contrario, el ciclo RL ( Ejemplo 10 ) es bastante largo: recorre las 24 tríadas mayores y menores. Dado que este ciclo tarda tanto en completarse, a menudo se ignora o se presenta de forma truncada.
Ejemplo 10. El ciclo RL.
Hay un ciclo de tres transformaciones que destaca: el ciclo PLR. Como muestra el Ejemplo 11 , se necesitan dos ciclos de transformaciones PLR para volver al acorde inicial.
Ejemplo 11. El ciclo PLR.
De los ciclos mencionados, tanto el PL como el RP generan una escala madre compuesta por todas las notas utilizadas por sus tríadas constituyentes. El ciclo PL genera la escala hexatónica , una escala simétrica compuesta por semitonos y terceras menores alternados. El ciclo RP genera una escala octatónica , otra escala simétrica compuesta por semitonos y segundas mayores alternados. Estas escalas podrían considerarse como la representación del sonido general del ciclo. Cada ciclo PLR se centra en una única nota, contenida en cada una de las tríadas del ciclo.
Cada uno de estos ciclos se ilustra en el Ejemplo 12.
Ejemplo 12. Ciclos PL, RP y PLR relacionados con sus escalas/tonos comunes originales.
Otras transformaciones
Hay otros tres tipos de transformaciones neoriemannianas que ocurren con suficiente frecuencia en el repertorio como para que valga la pena mencionarlas aquí.
La transformación S -lide (S) (abreviatura de “slide”) es efectivamente lo opuesto a la transformación P : mueve los dos tonos que forman la quinta perfecta en una tríada en un semitono y cambia el modo de la tríada. [1]
La transformación N ebenverwandt (N) desplaza ambos miembros de la tercera menor en una tríada por semitonos y cambia de nuevo el modo. Nebenverwandt significa «relacionado con el vecino» en alemán y describe el movimiento similar al de un tono vecino de esta tercera. [2]
La transformación H expole (H) conecta una tríada a su opuesto modal a una tercera distancia moviendo cada voz un solo semitono, generando los polos hexatónicos en el ciclo PL hexatónico discutido anteriormente y mostrado en el Ejemplo 12. [ 3]
Estas tres transformaciones se muestran en el Ejemplo 13.
Ejemplo 13. Transformaciones S, N y H.
Por supuesto, todas las transformaciones anteriores pueden considerarse combinaciones de las transformaciones básicas P , L y R. Por ejemplo, podrías describir H como "PLP". De hecho, puedes describir la conexión entre dos tríadas mayores y/o menores cualesquiera como combinaciones de transformaciones: puedes pasar de una tríada a otra en cinco pasos o menos. Las más interesantes son aquellas que utilizan una conducción de voces parsimoniosa : una conducción de voces en la que ninguna voz se mueve más de un paso. Hay muchas otras combinaciones que podrías idear; ¡pruébalas tú mismo!
Más redes de transformaciones neoriemannianas
Tríadas aumentadas
Aunque no forma parte de las transformaciones neoriemannianas básicas, que solo abordan tríadas mayores y menores, la tríada aumentada proporciona un vínculo útil entre tríadas mayores y menores, especialmente aquellas conectadas mediante transformaciones R. Al examinar los ejemplos anteriores, habrá notado que la transformación R no es exactamente igual a las transformaciones P y L , ya que desplaza su nota no preservada dos semitonos, mientras que las demás la desplazan un semitono. En cierto sentido, la transformación R requiere el doble de trabajo que las transformaciones P y L. Si completamos el espacio entre dos tríadas relacionadas con R, surge una tríada aumentada, como se muestra en el Ejemplo 14.
Ejemplo 14. La transformación R con una tríada aumentada intermedia.
La situación se pone interesante al considerar la ambigüedad de la tríada aumentada. Al ser un acorde simétrico (como el acorde de séptima disminuida), se puede escribir de forma enarmónica, de modo que cualquiera de sus miembros actúe como la fundamental. Por ejemplo, la tríada aumentada de Do del Ejemplo 14 también podría escribirse como una tríada aumentada de Mi (Mi–Sol♯–Si♯) o como una tríada aumentada de La♭ (La♭–Do–Mi). Como resultado, se puede resolver la tríada aumentada en tres tríadas menores diferentes desplazando una sola voz un semitono, según cómo se interprete su fundamental. El Ejemplo 15 muestra las tres posibles resoluciones de la tríada de Do + .
Ejemplo 15. Tres grafías diferentes de la tríada aumentada que se resuelven en tres tríadas menores diferentes.
Del mismo modo, la misma tríada aumentada puede conectarse a tres tríadas mayores diferentes moviendo una sola voz un semitono, como se muestra en el Ejemplo 16.
Ejemplo 16. Tres tríadas mayores diferentes se conectan a la misma tríada aumentada.
Ejemplo 17 ilustra las cuatro tríadas aumentadas (sí, solo hay cuatro, debido a la simetría del acorde) y las tríadas mayores y menores a las que se pueden resolver moviendo solo una voz por semitono. Cada tríada aumentada y sus seis tríadas asociadas se conocen como regiones de Weitzmann, llamadas así por el teórico Carl Friedrich Weitzmann, quien escribió extensamente sobre la tríada aumentada y su versatilidad en varios tratados del siglo XIX
. Cada línea en una región de Weitzmann representa mover una nota en una tríada por un solo semitono. Cuando trazas una ruta desde una tríada a la izquierda a una tríada a la derecha, encontrarás varias de las transformaciones discutidas anteriormente. R , S y N cada una requiere un movimiento total de dos semitonos, y cada una de estas puede trazarse a través de cualquier región de Weitzmann dada.
Ejemplo 17. Las cuatro regiones de Weitzmann.
La danza del cubo
Recordemos que los ciclos LP, RP y PLR son "bucles cerrados". Estos patrones recurrentes son interesantes, pero podrían volverse obsoletos con el tiempo. ¿Y si hubiera una manera de "modular" entre ciclos? Aquí entra la tríada aumentada.
Observe nuevamente las tríadas mayores conectadas a la región de Do + Weitzmann: Do, Mi y La♭. Observe que estas tres tríadas mayores son las mismas que se encuentran en el ciclo PL que comenzó en Do, del Ejemplo 12. Las tríadas menores de ese ciclo PL se encuentran en una región de Weitzmann diferente: la región de Mi♭ + . Si añadimos tríadas aumentadas a nuestros ciclos PL, ampliamos el grupo de posibles acordes dentro de un ciclo de seis a ocho. En lugar de representar estos ciclos en un hexágono, los ilustraremos con un cubo, como se muestra en el Ejemplo 18.
Ejemplo 18. Ciclos PL con tríadas aumentadas añadidas.
El ciclo PL que comienza en Do se encuentra en la esquina superior derecha del Ejemplo 18. Cada lado del cubo representa el movimiento de una nota de la tríada, desplazándose por semitono. Cuando las tríadas se mueven de mayor a menor, se trata de transformaciones P o L. Las tríadas aumentadas que conectan con las tríadas mayor y menor se encuentran en vértices opuestos del cubo y, por supuesto, también se conectan con cada tríada adyacente mediante un movimiento de un semitono.
Ahora bien, ¿cómo podríamos modular de un ciclo PL a otro? Observe que la misma tríada aumentada se puede encontrar en dos cubos diferentes. Si escribiéramos una progresión de acordes dentro de un ciclo PL, podríamos saltar a un ciclo PL adyacente navegando a una de las dos tríadas aumentadas y continuar en el nuevo ciclo. En cierto sentido, cada cubo está conectado a otros dos cubos mediante una tríada aumentada. Podemos usar estas conexiones para crear una ilustración que nos proporcione un mapa de todas las tríadas mayores y menores conectadas por un solo semitono. Esto fue explicado por primera vez por Jack Douthett y Peter Steinbach (1998), quienes se refirieron a este diagrama como una "danza del cubo". La danza del cubo se ha reproducido en el Ejemplo 19 .
Ejemplo 19. La danza del cubo (originalmente concebida por Douthett y Steinbach).
Usando el modelo de danza del cubo, se podría crear una progresión de acordes comenzando en el ciclo PL que incluye C, y modular a un nuevo ciclo PL mediante las tríadas C + o E♭ + . Si se quisiera ir de C a, por ejemplo, D, se tendría que modular dos veces: ya sea mediante C + y D♭ + , o E♭ + y D + . Aunque los demás ciclos no se representan claramente en el modelo de danza del cubo, también se pueden usar tríadas aumentadas para modular entre ciclos RP, ciclos PLR o cualquier grupo de transformaciones neoriemannianas que incluyan transformaciones R.
Quizás incluso mejor que el Tonnetz , la danza del cubo ilustra la proximidad de las tríadas mayores y menores. Si equiparamos la proximidad con el número total de semitonos necesarios para pasar de una tríada a otra, el diagrama de la danza del cubo junta los acordes que intuitivamente consideraríamos "cercanos" entre sí, mientras que aquellos que podríamos considerar "distantes" están relativamente separados. Además, la danza del cubo (e incluso el Tonnetz ) hace esto sin referencia a un centro tonal, lo que lo hace útil para racionalizar progresiones de acordes de la música de los siglos XIX y XX ( e incluso XXI ) que es triádica pero rehúye la tonalidad funcional. Esto puede ser increíblemente útil al analizar este tipo de música, o incluso al escribir la tuya propia.